设以椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点为直径的圆与椭圆相交

焦点(c,0),(-c,0)
所以圆心是原点，半径=c
所以x^2+y^2=c^2
x^2=c^2-y^2
代入椭圆
(c^2-y^2)/a^2+y^2/b^2=1
c^2/a^2+(1/b^2-1/a^2)y^2=1
y^2*(a^2-b^2)/a^2b^2=1-c^2/a^2=(a^2-c^2)/a^2
y^2=b^2(a^2-c^2)/(a^2-b^2)=b^2*b^2/c^2
所以|y|=b^2/c
即焦点到x轴的距离是b^2/c
三角形底边=F1F2=2c,高=|y|
所以面积=(b^2/c)*2c/2=b^2

三角形F1MF2是直角三角形
F1M^2+F2M^2=(2c)^2=4c^2=4a^2-4b^2

F1M+F2M=2a

so 2F1M*F2M=（F1M+F2M）^2-(F1M^2+F2M^2)=4b^2

so 三角形F1MF2的面积=F1M*F2M/2=4b^2/4=b^2

圆方程为x^2+y^2=c^2 (c^2=a^2-b^2)
与椭圆方程联立，解出M点人纵坐标y=b^2/c
三角形F1MF2的面积S＝1/2*|F1F2|*|y|=c*|y| =b^2